Giả thuyết Bernoulli là gì? Phép thử Bernoulli và ứng dụng vào xác suất thống kê

Giả thuyết Bernoulli là gì?

Giả thuyết Béc-nu-li (Bernoulli hypothesis) Daniel Bernoulli là nhà toán học của thế kỷ 19, đã đưa ra lời giải cho một nghịch lý nổi tiếng với cái tên "nghịch lý Xanh Pê-téc-bua".

Vấn đề là phải lý giải tại sao con người không trả các khoản tiền cực lớn để chơi trò chơi sau đây: Một đồng tiền được tung lên, chẳng hạn cho đến khi mặt ngửa xuất hiện. nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ hai, người chơi nhận được 2² đơn vị tiền thưởng (ví dụ là 4 đồng). Nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ 3, người chơi nhận được 2³ đơn vị tiền thưởng, đến lần thứ tư người chơi nhận được 2∧4 đơn vị tiền thưởng, và vân vân. Tổng của xác suất nhận được tiền thưởng phải bằng 1, nhưng với số lần tung vô hạn, giá trị kỳ vọng của tiền thưởng cũng là một đại lượng vô hạn. Như vậy, người ta có thể nhận định rằng người chơi sẽ đánh những khoản tiền rất lớn trong một trò chơi như thế.

Giải thích tại sao mọi người chấp nhận chơi trò chơi này, Bernoulli lập luận rằng người chơi bạc quan tâm đến ích lợi của phần thưởng hơn là bản thân tiền thưởng. Bằng cách nêu ra giải thuyết về lợi ích cận biên giảm dần của thu nhập, Bernoulli chỉ ra rằng một trò chơi có thể có giá trị kỳ vọng bằng tiền vô hạn, nhưng có giá trị kỳ vọng tính bằng lợi ích hữu hạn. Bởi vậy mọi người quan tâm tới giả thuyết này trước hết vì nó là nỗ lực đầu tiên trong việc thay thế mục tiêu tính bằng tiền bằng sự tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện có rủi ro hay tính bất định.

(Tài liệu tham khảo: Nguyễn Văn Ngọc, Từ điển Kinh tế học, Đại học Kinh tế quốc dân)

Phép thử Bernoulli và ứng dụng vào xác suất thống kê

Trước đó, vào thế kỳ 17, một nhà toán học nổi tiếng cũng thuộc nhà Bernoulli, Jacob Bernoulli đã phát minh ra phép thử Bernoulli. Dãy các phép thử Bernoulli được định nghĩa là đối với thí nghiệm ngẫu nhiên nào đó chúng ta thực hiện n lần
thử lặp lại. Chúng ta gọi dãy các phép thử này là dãy các phép thử Bernoulli nếu thoả mãn các điều kiện sau:

Đây là dãy các phép thử độc lập, nghĩa là kết quả của mỗi phép thử không
phụ thuộc vào kết quả của các phép thử khác.

Biến cố A xảy ra với xác suất p như nhau ở phép thử thứ i bất kỳ.

Nếu biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i, ta nói phép thử thứ i thành công

Công thức của phép thử Bernoulli được viết như sau:

Công thức trên được dùng để tính Xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần trong dãy n phép thử Bernoulli.